设 $f$ 在 $x=a$ 处连续, $|f|$ 在 $x=a$ 处可导. 试证: $f$ 在 $x=a$ 处可导.

 

证明: (1). 若 $f(a)>0$, 则由连续函数的保号性, $$\bex \exists\ \delta>0,\st x\in (a-\delta,a+\delta)\ra f(x)>0\ra \frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\frac{|f(x)|-|f(a)|}{x-a}. \eex$$ 令 $x\to a$, 有 $$\bex f'(a)=|f|'(a). \eex$$ (2). 若 $f(a)=0$, 则 $$\bex |f|'(a)=\lim_{x\to a}\frac{|f(x)|}{x-a}. \eex$$ 注意到 $$\bex x<a\ra \frac{|f(x)|}{x-a}\leq 0,\quad x\geq a\ra \frac{|f(x)|}{x-a}\geq 0, \eex$$ 我们有 $$\bex |f|'(a)=|f|'_-(a)\leq 0,\quad |f|'(a)=|f|'_+(a)\geq 0. \eex$$ 而 $|f|'(a)=0$, $$\bex 0=\lim_{x\to a}\frac{|f(x)|}{x-a}\cdot \frac{x-a}{|x-a|} =\lim_{x\to a}\sev{\frac{f(x)}{x-a}} =\sev{\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{x-a}}, \eex$$ $$\bex 0=\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{x-a}=f'(a). \eex$$ (3). 若 $f(a)<0$, 则同 (1), $$\bex \exists\ \delta>0,\st x\in (a-\delta,a+\delta)\ra f(x)<0\ra \frac{f(x)-f(a)}{x-a}=-\frac{|f(x)|-|f(a)|}{x-a}. \eex$$ 令 $x\to a$, 有 $$\bex f'(a)=-|f|'(a). \eex$$